Ανεβαίνοντας ψηλά στο Κάστρο, στο Γουλά!!

Ανώτερα Μαθηματικά!!!

Ας ξεκινήσουμε από την πολυπλοκότητα των μαθηματικών κειμένων που κατά βάση αρχίζει να αποκτάει πολυσχιδή βάση. Στο άρθρο αυτό θα περιγράψουμε αναλυτικά έναν εκτενή κατάλογο μαθηματικών τελεστών και αναλύσεων με σκοπό την εξοικείωση αλλά και την περαιτέρω μελέτη αργότερα. Αρχικά το βιβλίο περιγράφει κάποια πράγματα για τους αριθμούς και τις ακολουθίες. Μαθαίνετε για τους φυσικούς, τους ακέραιους, τους ρητούς, τους άρρητους, τους αλγεβρικούς και τους υπερβατικούς, τους πραγματικούς αλλά και τους μιγαδικούς, στοιχειώδη θεωρήματα για φράγματα και ανισότητες, βασική άλγεβρα αλλά και θεματικές περιπτώσεις νομοτέλειας. Άλγεβρα ορίων στις ακολουθίες, άλγεβρα με ακολουθίες αλλά και την έννοια της ακολουθίας την συναντάτε μαζί με το κριτήριο σύγκλισης Cauchy στο οποίο μέσα από κάποιους δείκτες p,q μπορείτε να γνωρίζετε τη σύγκλιση χωρίς να γνωρίζετε το όριο. Ορίζετε τον αριθμό Euler μέσα από ένα άπειρο όριο και άξια λόγου στα κεφάλαια αυτά είναι η έννοια της μαθηματικής επαγωγής. Στη συνέχεια γίνεται μία βασική τοποθέτηση στις συναρτήσεις, τα όρια, τη συνέχεια συναρτήσεων, πολυωνυμικές και αλγεβρικές συναρτήσεις, υπερβατικές συναρτήσεις, αντίστροφη συνάρτηση αλλά και υπερβολικές τριγωνομετρικές, την έννοια της παραγώγου αλλά και τα διαφορικά, την αλυσίδα Leibniz αλλά και τη διαφόριση σύνθετων συναρτήσεων. Ακολουθούν το θεώρημα Rolle, το θεώρημα μέσης τιμής αλλά και το γενικευμένο θεώρημα μέσης τιμής του Cauchy που ορίζει το πηλίκο παραγώγων δύο συναρτήσεων σε σημείο ξ ως πηλίκο μεταβολών. Οι κανόνες L' Hospital, οι κανόνες παραγώγισης, τα σχετικά ακρότατα σημεία αλλά και τα σημεία καμπής, τα ακρότατα με χρήση μεγαλύτερων παραγώγων, η έννοια και οι ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος αλλά και η σύνδεση διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού, είναι διάφορα από τα θέματα ανάλυσης. ολοκληρώματα βασικών συναρτήσεων, ολοκλήρωση κατά παράγοντες, ολοκλήρωση με αλλαγή μεταβλητής, μήκος τόξου, υπολογισμός εμβαδών αλλά και όγκοι εκ περιστροφής με τη μέθοδο του δίσκου και τη μέθοδο του κέλυφους ανάλογα με τον άξονα περιστροφής μας εισάγουν στα βασικά θέματα και στα πρώτα θεμέλια του μαθηματικού λογισμού. Μέχρι τώρα θα μπορούσαμε να πούμε ότι τα παραπάνω είναι μία αναλυτική θεματολογία εισαγωγής στο πανεπιστήμιο, αναφορικά πάντοτε με το θέμα ανάλυση.

Στη συνέχεια ακολουθεί ο διαφορικός λογισμός σε συναρτήσεις πολλών μεταβλητών όπου εκεί γίνεται εισαγωγή του γοτθικού συμβόλου της μερικής παραγώγου και στην περίπτωση αυτή ο υπολογισμός διαφορικών έχει πολύ μεγάλη σημασία. Έχει σημασία η αναλυτική θεμελίωση και τα θεωρήματα για διαφορικά στο λογισμό συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, ακόμα και η διαφοροποίηση του συμβόλου παραγώγισης ανάλογα με το πόσες μεταβλητές συμμετέχουν στη σύνθετη συνάρτηση εσωτερικά, δηλαδή η διαφόριση σύνθετων συναρτήσεων. Πολύ μεγάλη σημασία για κάποιες σχέσεις που αποδεικνύονταν ερήμιν μας στο λύκειο είναι το θεωρήματα του Euler για ομογενείς συναρτήσεις με χρήση του βαθμού ομογένειας. Σημαντικό άλμα στην περίπτωση αυτή αποτελούν οι πλεγμένες συναρτήσεις, η έννοια της Ιακωβιανής δηλαδή της Jacobian συναρτησιακής ορίζουσας αλλά και ο υπολογισμός μερικών παραγώγων σε πλεγμένες συναρτησιακές μεταβλητές με χρήση Ιακωβιανών. Πολλές φορές μπορεί να αποδειχθεί χρήσιμο το να κατασκευάσετε εσείς την πεπλεγμένη μορφή και στη συνέχεια να ενδιαφερθείτε για τη μερική παράγωγο μίας μεταβλητής. Εντυπωσιακά αποτελέσματα δημιουργεί η εισαγωγή στο διανυσματικό λογισμό, τη βασική άλγεβρα αλλά και τα θεμέλια της διανυσματικής ανάλυσης. Μαθαίνετε για το εσωτερικό αριθμητικό γινόμενο, το εξωτερικό διανυσματικό γινόμενο, την αξιωματική προσέγγιση της διανυσματικής ανάλυσης και γίνεται εισαγωγή στις διανυσματικές συναρτήσεις με την έννοια των αριθμητικών και διανυσματικών πεδίων. Η έννοια των αριθμητικών και διανυσματικών πεδίων, τα θεμέλια του διανυσματικού λογισμού αλλά και κάποιοι βασικοί διανυσματικοί τελεστές αποκτούν θεμέλια σημασία στη φυσική. Μαθαίνετε για την έννοια του τελεστή ανάδελτα και μέσω αυτού την κλίση, την απόκλιση, την περιστροφή, τη Λαπλασιανή αριθμητικού πεδίου δηλαδή το ανάδελτα τετράγωνο αλλά και τον τελεστή Λαπλάς ως διαφορικό διανυσματικής συνάρτησης. Τα όρια, η συνέχεια και η παράγωγος διανυσματικών συναρτήσεων ουσιαστικά επεκτείνουν τη διανυσματική ανάλυση σε ουσιαστικά θέματα ανώτερων μαθηματικών που κάνουν χρήση διαφορικών, παραγώγων και ορίων.

Σημαντικό και βασικό θέμα στη διανυσματική ανάλυση και κατεπέκταση στη φυσική είναι οι τύποι που αφορούν το ανάδελτα, δηλαδή το ανάποδο Δέλτα. Ακόμα μεγαλύτερη σημασία αλλά και ανάγκη ειδικής μελέτης στο διανυσματικό λογισμό αποκτούν τα συστήματα συντενταγμένων. Εκεί μαθαίνετε να υπολογίζετε την κλίση, την απόκλιση, την περιστροφή αλλά και τη Λαπλασιανή σε ορθογώνιες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες, στις ειδικές περιπτώσεις σφαιρικών συντεταγμένων και κυλινδρικών συντεταγμένων και έγκειται σε εσάς η επέκταση σε άλλα συστήματα συντεταγμένων όπως ελλειπτικά συστήματα αναφοράς, υπερβολικά και παραβολικά συστήματα αναφοράς και γενικά ένα οποιοδήποτε σύστημα αναφοράς του οποίου γνωρίζετε το γεωμετρικό τόπο. Στη συνέχεια με βασική χρήση του διανυσματικού λογισμού και του διαφορικού λόγισμού προχωράτε σε εφαρμογές μερικών παραγώγων όπως τον υπολογισμό της εξίσωσης επιπέδου εφαπτόμενο σε επιφάνεια, τον υπολογισμό της εξίσωσης ευθείας κάθετης σε επιφάνεια αλλά και την εξίσωση ευθείας εφαπτόμενης σε καμπύλη με χρήση Ιακωβιανών στους παρονομαστές. Σημαντικό βήμα και νέο λογισμό αποτελεί η διαφόριση και ολοκλήρωση παραμετρικού ολοκληρώματος, που στην περίπτωση της ολοκλήρωσης αφήνει υπόνοιες πολλαπλών ολοκληρωμάτων. Σημαντικό θέμα που εμείς το διδαχτήκαμε στα οικονομικά στο πανεπιστήμιο είναι η μέθοδος των πολλαπλασιαστών Lagrange για μέγιστα και ελάχιστα που τώρα καλύπτεται μόνο ως προς την αναγκαίες συνθήκες, όμως τα ακρότατα συναρτήσεων είναι θέμα βελτιστοποίησης. Τα διπλά ολοκληρώματα, τα διαδοχικά ολοκληρώματα αλλά και τα τριπλά ολοκληρώματα προεκτείνουν ακόμα περισσότερο τη θεωρία ολοκληρωμάτων και αργότερα μαθαίνετε για τα επικαμπύλια ολοκληρώματα αλλά και τα επιφανειακά ολοκληρώματα. Σημαντικό βήμα για θεωρήματα αποτελούν τα επικαμπύλια ολοκληρώματα κατά κλειστή καμπύλη που συμβολίζονται με το σύμβολο του ολοκληρώματος με ένα κυκλάκι στο κέντρο. Το θεώρημα Green στο επίπεδο, το θεώρημα Gauss, το θεώρημα Stokes είναι βασικά για τη θεωρία των νέων μορφών ολοκληρωμάτων. Ουσιαστικά μετατρέπετε ένα επικαμπύλιο κλειστό ολοκλήρωμα σε ολοκλήρωμα τόπου εναλλάσοντας τις μεταβλητές των μερικών παραγώγων, μετατρέπεται ολοκλήρωμα όγκου σε ολοκλήρωμα χώρου με συνημίτονα κατεύθυνσης αλλά και ένα διπλό ολοκλήρωμα διανυσματικού πεδίου σε τμήμα επιφάνειας σε επικαμπύλιο κλειστό ολοκλήρωμα σε απλή κλειστή καμπύλη που περικλείει το τμήμα επιφάνειας.

Στη συνέχεια ακολουθούν οι άπειρες σειρές και οι δυναμοσειρές, κάποιες βασικές σειρές συναρτήσεων που ουσιαστικά μετασχηματίζουν τη συνάρτηση σε άθροισμα απείρων όρων, τη συνάρτηση Bessel που ορίζεται με δυναμοσειρά ως λύση της διαφορικής εξίσωσης Bessel, άπειρες σειρές με μιγαδικούς όρους και απειρογινόμενα με χρήση του συμβόλου Π αντί του συμβόλου Σ και ακολουθούν τα γενικευμένα ολοκληρώματα 1ου-2ου-3ου είδους όπου κάποιο από τα όρια ολοκλήρωσης ή και τα δύο είναι άπειρο και αυτό ισοδυναμεί με το άπειρο όριο του κατά άκρου συναρτησιακού ολοκληρώματος. Καλό είναι να θυμάστε πως ένα ολοκλήρωμα από μείον άπειρο έως άπειρο δεν ταυτίζει τα δύο όρια, μία στο άπειρο και μία στο μείον άπειρο, τα δύο όρια είναι ξεχωριστά. Πολύ σημαντικός ο μετασχηματισμός Laplace συναρτήσεων, τα γενικευμένα πολλαπλά ολοκληρώματα, για παράδειγμα ένα διπλό ολοκλήρωμα από μείον άπειρο έως άπειρο και στις δύο περιπτώσεις και συνέχεια έχουν οι καταπληκτικές σειρές Fourier που εκφράζονται ως δυναμοσειρά κυματοσυνάρτησης στην οποία πρέπει να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς συντελεστές που πρόκειται για ολοκληρώματα άλλοτε με πραγματικά όρια ολοκλήρωσης και στην περίπτωση των ολοκληρωμάτων Fourier έχουμε άπειρα όρια ολοκλήρωσης. Στις συναρτήσεις Fourier σημαντικός είναι ο μιγαδικός συμβολισμός τους. Η διαφόριση και η ολοκλήρωση σειρών Fourier με τον τελεστή να μπαίνει μέσα στη δυναμοσειρά αλλά και οι συναρτήσεις Γάμμα και Βήτα καθώς και ο μετασχηματισμός Fourier είναι κάποια επόμενα θέματα μαζί με κάποιες πολύτιμες ιδιότητες των συναρτήσεων Γάμμα και Βήτα που χρησιμεύουν και στον υπολογισμό ολοκληρωμάτων. Στην πραγματικότητα διαθέτω ένα καταπληκτικό Mathematics Handook for Science & Engineering αλλά και πολύ εύχρηστα βιβλία ώστε ακριβώς όπως στο Handbook να διαθέτεις έναν ανοιχτό κατάλογο όλων των μαθηματικών προτύπων που απλά δεν θυμάσαι εκείνη τη στιγμή απέξω και μάλιστα τη στιγμή που το Handbook όπως και η σειρά Schaum καλύπτουν πραγματικά προχωρημένα θέματα.

Περνάμε στην έννοια των κβαντικών υπολογιστών που πολύ καλά θα πείτε πως η καθεαυτό τεχνολογία για τους επιστήμονες φαντάζει ουτοπία και πραγματική χίμαιρα, δίνοντας όμως άφθονο έδαφος και πραγματικό όραμα στην ιδέα του κβαντικού υπολογιστή με την έννοια της προσομοίωσης, λογισμικό, εγκαταστάσεις. Κυβερνητική και νέα φυσική, θεωρία συστημάτων, θεωρία ελέγχου, θεωρία καταστροφής, γενετικοί αλγόριθμοι και πληθυσμιακά μοντέλα, λογικά δίκτυα και το κβαντικό σύμπαν είναι κάποια από τα θέματα ενδιαφέροντος. Στην πραγματικότητα ο κβαντικός υπολογιστής αψηφά την κοινή λογική και στην περίπτωση της τεχνολογίας Hardware και όχι της φιλόδοξης και ρομαντικής προσομοίωσης, οι επιστήμονές μας υποστηρίζουν ότι βρίσκεται στο λυκόφως. Μπορεί να λέτε πως στον κβαντικό υπολογιστή θα μπορούσε να μετρήσει η μαθηματική σχετικότητα και η κβαντομηχανική όμως με όρους προσομοίωσης περνάμε σε ένα νέο ζεύγος που για τους σκοπούς της πληροφορικής ονομάζεται κυβερνητική και κβαντική φυσική. Ακριβώς για να αναπτυχθεί το κομμάτι του ολοκληρωμένου υπολογιστικού συστήματος διότι δεν είναι μόνο τα κβαντικά φαινόμενα. σημαντικό ρόλο θα παίξει επίσης η στατιστική προσομοίωση, τα δυναμικά συστήματα, ο πρακτικός πλούτος της μη γραμμικής βελτιστοποίησης, τα μαθηματικά και το παιχνίδι της ζωής και αφήνουμε σε εσάς την ειδική μελέτη στη μαθηματική και μιγαδική ανάλυση ώστε να καταλάβετε πως η έννοια των μιγαδικών συναρτήσεων στα μαθηματικά όπου λαμβάνει μέρος και η φανταστική μονάδα (με τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών) στηρίζεται στη μιγαδική πραγματικότητα του κόσμου. Σίγουρα έχουμε αναλύσει και πριν πως ο μαθηματικός πληθωρισμός στην πληθωριστική έκρηξη ουσιαστικά περιγράφει ένα νόμισμα δύο όψεων, πληθωρισμός-βαρύτητα. Αν πράγματι επιθυμείτε την πληθωριστική έκρηξη τη στιγμή που η πυκνότητα της ύλης στην πραγματικότητα ρουφάει το χωροχρόνο, τότε θα πρέπει ο μαθηματικός πληθωρισμός να υπερνικήσει τη βαρύτητα. Σημαντικό επίσης αλλά και ρομαντικό ενδιαφέρον έχει η θεωρία παράλληλων κόσμων αλλά και οι σκουληκότρυπες. Με μία σκουληκότρυπα, αν φανταστείτε ότι το επίπεδο του χωροχρόνου διπλώνει ώστε να σχηματιστούν δύο ανάστροφες μαύρες τρύπες, μπορείτε να ταξιδέψετε από το ένα στόμα στο άλλο, γνωρίζοντας πως μέσα στη σκουληκότρυπα θα χρειαστείτε λιγότερο χρόνο σε σχέση με την ταχύτητα του φωτός εξωτερικά της σκουληκότρυπας, τη στιγμή που το φώς μέσα στη σκουληκότρυπα υπερνικάει τον ταξιδιώτη.

Μέσα στο πνεύμα των ανεπτυγμένων τελεστών και της μαθηματικής έρευνας βρίσκεται και η ζωή στο σύμπαν μέσα από την εξίσωση Drake. Η εξίσωση Drake υπολογίζει τον αριθμό των πολιτισμών στο Σύμπαν με τους οποίους πιθανόν να ήταν δυνατή η επικοινωνία. Πρόκειται για μία βασική σειρά πολλαπλασιαστών όπου ξεκινάτε με τον ρυθμό αστρικών σχηματισμών στο γαλαξία, πολλαπλασιάζεται με το ποσοστό των αστεριών που έχουν πλανήτες, μετά με το ποσοστό των πλανητών που έχουν εν δυνάμει ζωή, μετά με το ποσοστό των πλανητών που έχουν πραγματικά τη δυνατότητα δημιουργίας ζωής, μετά με το ποσοστό των πολιτισμών που μπορούν να αναπτύξουν έξυπνη ζωή, μετά με το ποσοστό των πολιτισμών που μπορούν να αναπτύξουν τεχνολογία εκπομπής ανιχνεύσιμων σημάτων της ύπαρξής τους στο διάστημα και μετά με τη διάρκεια του χρόνου κατά την οποία τέτοιοι πολιτισμοί ουσιαστικά απελευθερώνουν τα σήματά τους. Αυτό που ίσως παίζει πρωταγωνιστικό ρόλο στον 21ο αιώνα είναι η σύνδεση του μαθηματικού προγραμματισμού με τη διαστημική βιομηχανία και την άμυνα. Μάθαμε ότι ο παγκόσμιος ιστός περιγράφεται μέσα από πρότυπα ρευστοδυναμικής. Τώρα μαθαίνουμε πως αποκτάει και χαρακτήρα τεχνητής νοημοσύνης. οι χώροι τα πεδία αλλά και οι μαθηματικοί τελεστές, είναι έννοιες με τις οποίες πρέπει να εξοικειωθείτε αν σας ενδιαφέρει πραγματικά η έρευνα. Αυτό που ίσως δεν έχουμε ακόμα συζητήσει είναι ποια είναι η σχέση μίας μαθηματικής μηχανής με την έννοια της ύλης και αντιύλης στο σύμπαν. Στην προσπάθειά τους οι επιστήμονες να υπολογίσουν την τροχιά κίνησης ενός ηλεκτρονίου κατέληξαν σε συμμετρικές λύσεις όπου έθεταν με καθοριστικό τρόπο την παρουσία αντιύλης, μέσα από τα λεγόμενα ποζιτρόνια δηλαδή τα θετικά ηλεκτρόνια. Αρχικά η βασική ερώτηση είχε ως εξής. εφόσον υπάρχουν τα αντίστοιχα αντισωμάτια γιατί να μην είναι δυνατή η συγκρότηση αντιστοιχείων και γενικότερα αντιύλης? Βεβαίως είναι εξαρχής γνωστό ότι δεν μπορεί να συνυπάρχει ύλη και αντιύλη, εφόσον η σύγκρουση σωματίου με το αντισωμάτιό του, επιφέρει τον εκμηδενισμό της μάζας τους και τη μετατροπή σε φωτεινή ενέργεια δηλαδή ακτινοβολία γάμμα. Σχετικά πρακτικά είναι τα φαινόμενα ύλης και αντιύλης στους κβαντικούς υπολογιστές αλλά και στις μηχανές αναζήτησης.

Μέσα από τη φυσική σκοπιά η σύγχρονη θεωρία χορδών είναι μία πιθανή εξήγηση για την απαρχή της θεωρίας των πάντων. Μέχρι σήμερα τα δομικά συστατικά της ύλης προσομοιάζονταν ως σημεία χωρίς διαστάσεις. Σύμφωνα με τη θεωρία χορδών, τα σημειακά αυτά δομικά συστατικά παίρνουν διαστάσεις και προσομοιάζονται με χορδές. το ερώτημα που εξαρχής διατυπώθηκε ήταν το εξής. Γιατί αν τα σωμάτια θεωρούνται χορδές, δεν μπορούμε μέχρι σήμερα να τα αντιληφθούμε? Για να γίνει αντιληπτή μία χορδή πρέπει να πάλλεται και για να πάλλεται πρέπει να βρίσκεται σε μεγάλη ενεργειακή κατάσταση, σχεδόν συγκρίσιμη με αυτή των πρώτων στιγμών της δημιουργίας του Σύμπαντος. Οι ενέργειες όμως των σωματιδίων που παρατηρούμε είναι τόσο μικρές, ώστε αυτές να μπορούν να θεωρηθούν χορδές εν ηρεμία, δηλαδή χορδές χωρίς πρακτικά αντιληπτές διαστάσεις. Με το ίδιο σκεπτικό τα δικά μας πρότυπα μαθηματικής ύλης περιγράφονται μέσα από τυχαία συστήματα αναφοράς χωρίς να περιοριζόμαστε ως προς τις μικροσκοπικές ή μακροσκοπικές τους ιδιότητες, σίγουρα δε σκοπεύουμε να παράγουμε πραγματική ύλη στο δωμάτιο και έτσι τα πάντα μπορούν να λειτουργήσουν με πολύ καλή προσομοίωση. Χαίρομαι ιδιαίτερα που κάνω αυτό το βήμα σε καινούρια και προχωρημένα θέματα και εύχομαι σε όλους εσάς καλή συνέχεια...!!

The Wall Painting At My Room

Houston at the Night Sky!

Envisioning the World!!